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2022-07-13
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并查集

# 并查集

并查集主要是解决图论中「动态连通性」问题的,本文详细介绍并查集的实现流程与编码.

# 一、问题介绍

简单说，动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，分别用 0~9 标记：

UnionFind1

现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API：

class UnionFind {
	// 将 p 和 q 链接
	public void union(int p, int q);
	// 判断 p 和 q是否联通
	public boolean isConnected(int p, int q);
	// 返回途中有多少个联通分量
	public int count();
}
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这里所说的「连通」是一种等价关系，也就是说具有如下三个性质：

  1. 自反性：节点p和p是连通的。

  2. 对称性：如果节点p和q连通，那么q和p也连通。

  3. 传递性：如果节点p和q连通，q和r连通，那么p和r也连通。

比如说之前那幅图，0～9 任意两个不同的点都不连通，调用connected都会返回 false，连通分量为 10 个。

如果现在调用union(0, 1)，那么 0 和 1 被连通，连通分量降为 9 个。

再调用union(1, 2)，这时 0,1,2 都被连通，调用connected(0, 2)也会返回 true，连通分量变为 8 个。

UnionFind2

判断这种「等价关系」非常实用，比如说编译器判断同一个变量的不同引用，比如社交网络中的朋友圈计算等等。

Union-Find 算法的关键就在于union和connected函数的效率。

# 二、基本思路

使用森林（若干棵树）来表示图的动态连通性，用数组来具体实现这个森林。

我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点，如果是根节点的话，这个指针指向自己。比如说刚才那幅 10 个节点的图，一开始的时候没有相互连通，就是这样：

UnionFind3

代码部分：

class UnionFind {
    // 记录连通分量
    private int count;
    // 节点 x 的节点是 parent[x]
    private int[] parent;

    /* 构造函数，n 为图的节点总数 */
    public UnionFind(int n) {
        // 一开始互不连通
        this.count = n;
        // 父节点指针初始指向自己
        parent = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            parent[i] = i;
    }

    /* 其他函数 */
}
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如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上：

UnionFind4

public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 将两棵树合并为一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也一样
    count--; // 两个分量合二为一
}

/* 返回某个节点 x 的根节点 */
private int find(int x) {
    // 根节点的 parent[x] == x
    while (parent[x] != x)
        x = parent[x];
    return x;
}

/* 返回当前的连通分量个数 */
public int count() { 
    return count;
}
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这样，如果节点p和q连通的话，它们一定拥有相同的根节点.

public boolean isConnected(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    return rootP == rootQ;
}
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经过上面的分析可以得到下面完整的代码：

class UnionFind {
    // 记录连通分量
    private int count;
    // 节点 x 的节点是 parent[x]
    private int[] parent;

    /* 构造函数，n 为图的节点总数 */
    public UnionFind(int n) {
        // 一开始互不连通
        this.count = n;
        // 父节点指针初始指向自己
        parent = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            parent[i] = i;
    }

    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;
        // 将两棵树合并为一棵
        parent[rootP] = rootQ;
        // parent[rootQ] = rootP 也一样
        count--; // 两个分量合二为一
    }

    /* 返回某个节点 x 的根节点 */
    private int find(int x) {
        // 根节点的 parent[x] == x
        while (parent[x] != x)
            x = parent[x];
        return x;
    }
	
    /* 判断 p 和 q 两点是否联通 */
    public boolean isConnected(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        return rootP == rootQ;
    }
    /* 返回当前的连通分量个数 */
    public int count() { 
        return count;
    }
}
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以上代码已经实现了并查集的基本功能，但是它的复杂度并不是最优的，算法的复杂度主要看APIisConnected和union中的find函数，所以说它们的复杂度和find一样。

find主要功能就是从某个节点向上遍历到树根，其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是logN，但这并不一定。logN的高度只存在于平衡二叉树，对于一般的树可能出现极端不平衡的情况，使得「树」几乎退化成「链表」，树的高度最坏情况下可能变成N。

所以说，find,union,connected的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的，你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题，对于union和connected的调用非常频繁，每次调用需要线性时间完全不可忍受。

# 三、优化

# 3. 1平衡性优化

我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象，关键在于union过程：

public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 将两棵树合并为一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也可以
    count--; 
}
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我们一开始就是简单粗暴的把p所在的树接到q所在的树的根节点下面，那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况，比如下面这种局面：

UnionFind5

长此以往，树可能生长得很不平衡。我们其实是希望，小一些的树接到大一些的树下面，这样就能避免头重脚轻，更平衡一些。解决方法是额外使用一个size数组，记录每棵树包含的节点数，我们不妨称为「重量」：

class UnionFind {
    private int count;
    private int[] parent;
    // 新增一个数组记录树的“重量”
    private int[] size;

    public UnionFind(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        // 最初每棵树只有一个节点
        // 重量应该初始化 1
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }
    /* 其他函数 */
}
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比如说size[3] = 5表示，以节点3为根的那棵树，总共有5个节点。这样我们可以修改一下union方法：

public void union(int p, int q) {
    int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;

    // 小树接到大树下面，较平衡
    if (size[rootP] > size[rootQ]) {
        parent[rootQ] = rootP;
        size[rootP] += size[rootQ];
    } else {
        parent[rootP] = rootQ;
        size[rootQ] += size[rootP];
    }
    count--;
}
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这样，通过比较树的重量，就可以保证树的生长相对平衡，树的高度大致在logN这个数量级，极大提升执行效率。

此时，find,union,connected的时间复杂度都下降为 O(logN)，即便数据规模上亿，所需时间也非常少。

# 3.2 路径压缩

这步优化特别简单，所以非常巧妙。我们能不能进一步压缩每棵树的高度，使树高始终保持为常数？

这样find就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点，相应的，connected和union复杂度都下降为 O(1)。

要做到这一点，非常简单，只需要在find中加一行代码：

private int find(int x) {
    while (parent[x] != x) {
        // 进行路径压缩
        parent[x] = parent[parent[x]];
        x = parent[x];
    }
    return x;
}
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每次查找跟节点的时候都会对路径进行压缩：

UnionFind7

可见，调用find函数每次向树根遍历的同时，顺手将树高缩短了，最终所有树高都不会超过 3（union的时候树高可能达到 3）。

# 四、总结

完整代码：

class UnionFind {
    // 连通分量个数
    private int count;
    // 存储一棵树
    private int[] parent;
    // 记录树的“重量”
    private int[] size;

    public UnionFind(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }
    
    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ) return;
            
        // 小树接到大树下面，较平衡
        if (size[rootP] > size[rootQ]) {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        } else {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        }
        count--;
    }

    public boolean isConnected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

    private int find(int x) {
        while (parent[x] != x) {
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }

    public int count() {
        return count;
    }
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Union-Find 算法的复杂度可以这样分析：构造函数初始化数据结构需要 O(N) 的时间和空间复杂度；连通两个节点union、判断两个节点的连通性connected、计算连通分量count所需的时间复杂度均为 O(1)。

# 五、LeetCode题目

  • 「力扣」第 547 题：省份数量（中等）；
  • 「力扣」第 684 题：冗余连接（中等）；
  • 「力扣」第 1319 题：连通网络的操作次数（中等）；
  • 「力扣」第 1631 题：最小体力消耗路径（中等）；
  • 「力扣」第 959 题：由斜杠划分区域（中等）；
  • 「力扣」第 1202 题：交换字符串中的元素（中等）；
  • 「力扣」第 947 题：移除最多的同行或同列石头（中等）；
  • 「力扣」第 721 题：账户合并（中等）；
  • 「力扣」第 803 题：打砖块（困难）；
  • 「力扣」第 1579 题：保证图可完全遍历（困难）;
  • 「力扣」第 778 题：水位上升的泳池中游泳（困难）;
  • 「力扣」第 839题：相似字符串（困难）。

参考

Union-Find算法解析

编辑 (opens new window)
#数据结构与算法
上次更新: 2024/05/11, 19:33:03
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